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直线yax1与双曲线1相交于AB两点

  (1)当a为何值时,以AB为直径的圆过原点?

  (2)是否存在实数a,使两交点AB关于直线yx对称?如果存在,求出a的值;如果不存在,说明理由

 

答案:
解析:

分析  (1)以AB为直径的圆过原点,也就是已知OAOB,从而得到=0,这是解决问题的关键

  (2)如果存在实数a使AB关于yx对称,也就是直线yxAB的垂直平分线,从而解得a,且AB的中点M即为AB与直线yx的交点,则M点的坐标必须满足yx,以此来判断是否存在

  (1)由 消去y,得

  -2ax-2=0                        ①

  设A),B),

  以AB为直径的圆过原点=0

  由方程①得

  

  =(a+1)(+1)

       =a)++1

       =1

  把得到的代入=0中,有

  =0,

  故a=±1

  (2)设AB关于直线yx对称,

  则AB的垂直平分线方程为yx,且AB中点M)在直线yx上,

  ∴  a=-2

  由消去y,得-4x+2=0,则

  代入y=-2x+1得=-3

  ∵  M(2,-3)不在直线yx上,即AB中点M不在直线yx上,故这样的实数a不存在

点评  “设而不求”即点差法是求参数取值范围时经常使用的方法,涉及到中点坐标时可考虑使用此法对称性问题是近几年高考的热点,应引起足够重视

 


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