Question

13．在平面直角坐标系xOy中，过点P（2，0）的直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\sqrt{3}t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t为参数），圆C的方程为x²+y²=4．以直角坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线l的普通方程和圆C的极坐标方程；
（2）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\sqrt{3}t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t化为普通方程．把ρ²=x²+y²代入圆C的方程即可得出极坐标方程．
（2）把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\sqrt{3}t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t为参数）代入圆C的方程化为：t²-$\sqrt{3}$t=0．利用|AB|=|t₁-t₂|即可得出．

解答 解：（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\sqrt{3}t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t化为普通方程：x+$\sqrt{3}$y-2=0．
把ρ²=x²+y²代入圆C的方程x²+y²=4，可得极坐标方程为ρ²=4，即ρ=2．
（2）把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\sqrt{3}t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t为参数）代入圆C的方程化为：t²-$\sqrt{3}$t=0．
解得t₁=0，t₂=$\sqrt{3}$．
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了直线的参数方程及其应用、直角坐标方程化为极坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．