Question

12．函数y=f（x）图象上不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）处的切线的斜率分别是k_A，k_B，规定φ（A，B）=$\frac{{|{k_A}-{k_B}|}}{|AB|}$叫做曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：
①函数y=x³-x²+1图象上两点A与B的横坐标分别为1，2，则ϕ（A，B）＞$\sqrt{2}$
②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；
③设点A、B是抛物线y=x²+1上不同的两点，则φ（A，B）≤2；
④设曲线y=e^x上不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁-x₂=1，若t•φ（A，B）＜1恒成立，则实数t的取值范围是（-∞，1）．
以上正确命题的序号为①②③．

Answer 1

分析 由新定义，利用导数逐一求出函数y=x³-x²+1、y=x²+1在点A与点B之间的“弯曲度”判断①、③；举例说明②正确；求出曲线y=e^x上不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）之间的“弯曲度”，然后结合t•φ（A，B）＜1得不等式，举反例说明④错误．

解答 解：对于①，由y=x³-x²+1，得y′=3x²-2x，
则k_A=y′|_x=1=1，k_B=y′|_x=2=8，
y₁=1，y₂=5，则|AB|=$\sqrt{（2-1）^{2}+（5-1）^{2}}$=$\sqrt{17}$，φ（A，B）=$\frac{{|{k_A}-{k_B}|}}{|AB|}$=$\frac{7}{\sqrt{17}}$＞$\sqrt{2}$正确；
对于②，常数函数y=1满足图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数，正确；
对于③，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y′=2x，
则k_A-k_B=2x₁-2x₂，|AB|=|x₁-x₂|$\sqrt{1+（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}$．
∴φ（A，B）=$\frac{{|{k_A}-{k_B}|}}{|AB|}$=$\frac{2}{\sqrt{1+（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}}$$≤\frac{2}{1}$=2，正确；
对于④，由y=e^x，得y′=e^x，φ（A，B）=$\frac{|{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}|}{\sqrt{1+（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}}$．
t•φ（A，B）＜1恒成立，即t|${e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}$|＜$\sqrt{1+（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}$恒成立，t=1时该式成立，∴错误．
故答案为：①②③．

点评 本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，考查了函数恒成立问题，关键是对题意的理解，是中档题．