Question

7．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，其中c边最长，并且sin²A+sin²B=1．求证：△ABC为直角三角形．

Answer 1

分析 先根据sin²A+sin²B=1以及sin²A+cos²A=1得到sin²B=cos²A；再结合A，B是三角形的内角且c边最长得到sinB=cosA进而判断出三角形的形状．

解答 证明：因为：sin²A+sin²B=1，
而sin²A+cos²A=1；
所以sin²B=cos²A；
∵c边最长，
∴A，B均为锐角，
故sinB=cosA=sin（$\frac{π}{2}$-A）⇒B=$\frac{π}{2}$-A⇒A+B=$\frac{π}{2}$．
∴△ABC是直角三角形．

点评 本题主要考查三角形的形状判断．三角形的形状判断有两种常用方法：一是求出角之间的关系来下结论；二是求出边之间的关系来下结论．