Question

19．已知函数f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-1．在△ABC中，角A，B，C所对的边是a，b，c，满足f（A）=1
（I）求角A的值；
（Ⅱ）若sinB=3sinC，△ABC面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．求a边的长．

Answer 1

分析 （I）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f（x），再由特殊角的三角函数值，可得A；
（Ⅱ）运用正弦定理和余弦定理，结合面积公式，解方程，即可得到a的值．

解答 解：（I）f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-1
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由f（A）=1，得到2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，
即sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵A为三角形的内角，
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，即A=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）利用正弦定理化简sinB=3sinC得：b=3c，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
即$\frac{\sqrt{3}}{4}$×3c²=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
解得：c=1，
∴b=3，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=9+1-3=7，
则a=$\sqrt{7}$．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理以及面积公式的运用，同时考查二倍角公式和两角和的正弦公式的运用，属于中档题．