Question

9．设点P是△ABC内一点（不包括边界），且$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$（m．n∈R），则m²+n²-2m-2n+3的取值范围是$（\frac{3}{2}，3）$．

Answer 1

分析 根据题意可得m、n满足的不等式组，在mon坐标系内作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划，结合两点间的距离是即可得到结论．

解答 解：∵点P是△ABC内一点（不包括边界），$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$，（m．n∈R），
∴实数m、n满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{n＞0}\\{m+n＜1}\end{array}\right.$，
在mon坐标系内作出不等式组表示的平面区域，
得到如图所示的△MN0内部（不含边界），其中M（1，0），N（0，1），O是坐标原点．
∵m²+n²-2m-2n+3=（m-1）²+（n-1）²+1．
设P（m，n）是区域内一点，Q（1，1）
∵|PQ|=$\sqrt{（m-1）^{2}+（n-1）^{2}}$，
∴z=（m-1）²+（n-1）²+1表示P、Q连线段长的平方加1．
运动点P，可得当P与Q在MN上的射影重合时，|PQ|达到最小值，
当P与原点O重合时，|PQ|达到最大值．
∵点P到MN的距离为d₁=$\frac{|1+1-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，|PO|=$\sqrt{{（0-1）}^{2}+{（0-1）}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴（m-1）²+（n-1）²∈（$（{\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{2}$，$（{\sqrt{2}）}^{2}$），
即（m-1）²+（n-1）²的取值范围是$（\frac{1}{2}，2）$．
则z=（m-1）²+（n-1）²+1∈$（\frac{3}{2}，3）$
故答案为：$（\frac{3}{2}，3）$

点评 本题主要考查线性规划的应用，以平面向量为载体，求（m-1）²+（n-1）²+1的取值范围．着重考查了向量的线性运算、二元一次不等式组表示的平面区域和点到直线的距离公式等知识，综合性较强，难度较大．