Question

14．已知A={x|2a≤x≤a+3}，B={x|x²-6x+5＞0}．
（1）若A∩B=∅，求a的取值范围．
（2）是否存在实数a，使得A∪B=R，若存在，求出a的取值集合，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）化简集合B，分类讨论，利用A∩B=∅，求a的取值范围；
（2）根据条件A∪B=R，确定不等式端点之间的关系进行求解即可．

解答 解：B={x|（x-1）（x-5）＞0}={x|x＜1或x＞5}，…（1分）
（1）当A=∅时，2a＞a+3，∴a＞3，…（2分）
当A≠∅时，$\left\{{\begin{array}{l}{2a≤a+3}\\ \begin{array}{l}2a≥1\\ a+3≤5\end{array}\end{array}}\right.$，∴$\frac{1}{2}≤a≤2$．…（5分）
综上，a的取值范围为$[{\frac{1}{2}，2}]∪（{3，+∞}）$．…（6分）
（2）假设存在a使A∪B=R，则$\left\{\begin{array}{l}{2a≤1}\\{a+3≥5}\end{array}\right.$，…（8分）
∴a∈∅，∴不存在a使A∪B=R． …（10分）

点评 本题主要考查集合的基本运算，根据不等式的解法是解决本题的关键．