Question

4．如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，BB₁=2，E是棱CC₁上的点，且$CE=\frac{1}{4}C{C_1}$．     
（1）求三棱锥C-BED的体积；
（2）求直线CC₁与平面BDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）通过V_C-BDE=V_E-BCD，直接求解几何体的体积即可．
（2）以点A为原点，AB、AD、AA₁所在直线分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用斜率垂直数量积为0，证明A₁C⊥BE，A₁C⊥BD，即可证明A₁C⊥平面BDE，然后求解直线CC₁与平面BDE所成角的正弦值．

解答 解：（1）由$CE=\frac{1}{4}C{C_1}$=$\frac{1}{2}$，
∴V_C-BDE=V_E-BCD…（2分）
=$\frac{1}{3}{S_{△BCD}}•CE=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{1}{2}=\frac{1}{12}$．…（6分）
（2）以点A为原点，AB、AD、AA₁所在直线分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，则$B（{1，0，0}）、D（{0，1，0}）、E（{1，1，\frac{1}{2}}）、{A_1}（{0，0，2}）、C（{1，1，0}）$，
∴$\overrightarrow{{A_1}C}=（{1，1，-2}）$，$\overrightarrow{BD}=（{-1，1，0}），\overrightarrow{BE}=（{0，1，\frac{1}{2}}）$．  …（8分）
∵$\overrightarrow{{A_1}C}•\overrightarrow{BD}=（{1，1，-2}）•（{-1，1，0}）=1×（{-1}）+1×1+（{-2}）×0=0$，$\overrightarrow{{A_1}C}•\overrightarrow{BE}=（{1，1，-2}）•（{0，1，\frac{1}{2}}）=1×0+1×1+（{-2}）×\frac{1}{2}=0$，…（10分）
∴$\overrightarrow{{A_1}C}⊥\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{{A_1}C}⊥\overrightarrow{BE}$．
∴A₁C⊥BE，A₁C⊥BD．
∵BE∩BD=B，BE?平面BDE，ED?平面BDE，
∴A₁C⊥平面BDE． …（12分）
直线CC₁与平面BDE所成角的余弦值：cosθ=|$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{{CC}_{1}}}{\overrightarrow{|{A}_{1}C}|•|\overrightarrow{{CC}_{1}}|}$|=$\frac{4}{2×\sqrt{1+1+4}}$=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
直线CC₁与平面BDE所成角的正弦值：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（14分）

点评 本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断，几何体的求解的求法，考查空间想象能力以及计算能力．