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    如图2-14,已知O是正方形ABCD中边BC的中点,AP与以O为圆心,OB为半径的半圆切于T点.求AT∶TP的值.

    图2-14

    思路分析:注意到AB、AT为切线,PT、PC为切线,则想到连结OA、OT、OP,构造切线长定理的基本图形,要求AT∶TP,则只需求AB∶PC,这可以通过解直角三角形或△ABO∽△OCP求得.

    解法一:连结AO、TO、OP.?

    ∵四边形ABCD为正方形,?

    ∴BC⊥AB,BC⊥CD.?

    又∵BC为⊙O的直径,?

    ∴AB、DC为⊙O的切线,切点为B、C.?

    ∵AT、AB切⊙O于T、B,?

    ∴AT =AB且∠AOB =∠AOT.?

    ∵PT、PC切⊙O于T、C,?

    ∴PT =PC且∠POT =∠POC.?

    又∵∠AOB +∠AOT +∠POT +∠POC =180°,?

    ∴∠AOB +∠POC =∠AOP =90°.?

    又∠ABO =90°,∴∠POC=∠BAO.?

    ∴Rt△ABO∽△Rt△OCP.∴= =.?

    ∴OB =2CP.∴AB =2OC =2OB =4CP,?

    即AT∶TP =4∶1.

    解法二:先证得∠BAO =∠POC(方法同上).?

    在Rt△ABO中,tan∠BAO = =,?

    在Rt△OCP中,PC =OC·tan∠POC ==×=,?

    ∴AT∶TP =4∶1.

    解法三:先证得AT =AB,PT =PC(方法同上).?

    设正方形边长为a,PT =PC =x,则PD =a-x.?

    又∵AT =AB =AD =a,在Rt△ADP中,AD2+DP2 =AP2,?

    即a2+(a -x)2=(a +x)2,解得.?

    ∴AT∶TP =4∶1.

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    14
    ．
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    图2-1-14

    A.sin∠BPD              B.cos∠BPD                    C.tan∠BPD                 D.cot∠BPD

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    如图2-1-14，已知AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，那么等于(    )

    图2-1-14

    A.sin∠BPD                     B.cos∠BPD

    C.tan∠BPD                    D.cot∠BPD

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    如图2-3-14,已知⊙O是△ABC的外接圆,∠ACB =45°,∠ABC=120°,⊙O的半径为1.

    图2-3-14

    (1)求弦AC、AB的长;

    (2)若P为CB延长线上的一点,试确定P点的位置,使得PA与⊙O相切,并证明你的结论.

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