Question

如图2-3-14,已知⊙O是△ABC的外接圆,∠ACB =45°,∠ABC=120°,⊙O的半径为1.

图2-3-14

(1)求弦AC、AB的长;

(2)若P为CB延长线上的一点,试确定P点的位置,使得PA与⊙O相切,并证明你的结论.

Answer 1

思路分析:(1)要求AC,可在△AOC中求解,求AB,可在△AOB中求解.?

(2)要确定P的位置,只需求PB,可在△APB中求解,过P作PE⊥AB,则将斜三角形分解为直角三角形.

解:(1)过O作OD⊥AC于D,?

∵∠ABC=120°,则∠AOC=120°.?

又OA =OC,?

∴∠OAD =∠OCD=30°.?

在Rt△AOD中,cos∠OAD =,又OA =1,?

∴AD =OA·cos30°=.∴AC =2AD =.?

在△AOB中,OA =OB =1,∠AOB =2∠ACB =90°,∴.?

(2)过P作PE⊥AB于E,设BE =a,?

∵∠ABP =180°-∠ABC =60°,?

∴∠BPE =30°.∴BP =2BE =2a.?

在Rt△BPE中,PE = =.?

∵PA切⊙O于A,∴∠OAP =90°.?

∵∠OAB =45°,∴∠PAE =45°.?

在Rt△PAE中,AE =PE =,?

又∵AE +EB =AB =,?

∴,解得.?

∴PB =2a =-.