Question

（2013•江门一模）如图，AB是圆O的直径，C是圆O上除A、B外的一点，△AED在平面ABC的投影恰好是△ABC．已知CD=BE，AB=4，tan∠EAB=

1

4

．
（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；
（2）当三棱锥C-ADE体积最大时，求三棱锥C-ADE的高．

Answer 1

分析：（1）要证两个面相互垂直，可证平面ADE经过平面ACD的一条垂线DE，根据，△AED在平面ABC的投影恰好是△ABC，说明CD和BE都垂直于底面ABC，又CD=BE，可证DE∥BC，利用线面垂直的判定定理可证BC⊥面ACD，从而使问题得证；
（2）把三棱锥C-ADE体积转化为三棱锥E-ACD的体积，写出体积公式后利用基本不等式求体积最大值，并且得到使体积最大时的多面体A-BEDC的确切形状，然后利用等积法可求三棱锥C-ADE的高．

解答：（1）证明：因为AB是直径，所以BC⊥AC，因为△ABC是△AED的投影，所以CD⊥平面ABC，则CD⊥BC，
因为CD∩AC=C，所以BC⊥平面ACD，
因为CD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，所以CD∥BE，又因为CD=BE，所以BCDE是平行四边形，
∴BC∥DE，则DE⊥平面ACD，因为DE?平面ADE，所以平面ADE⊥平面ACD；
（2）在直角三角形AEB中，EB=AB•tan∠EAB=4×

1

4

=1，
由（1）知VC-ADE=VE-ACD=

1

3

S△ACD•DE
=

1

3

×

1

2

AC•CD•DE=

1

6

AC•EB•BC=

1

6

AC•BC≤

1

12

×(AC2+BC2)=

1

12

×AB2=

4

3

，
等号当且仅当AC=BC=2

2

时成立，
此时，AD=

AC2+CD2

=

12+(2 2 )2

=3，
S△ADE=

1

2

AD•DE=

1

2

×3×2

2

=3

2

，
设三棱锥C-ADE的高为h，
则VC-ADE=

1

3

S△ADE•h=

4

3

，
∴

1

3

×3

2

•h=

4

3

．
∴h=

2 2

3

．
所以，当三棱锥C-ADE体积最大时，三棱锥C-ADE的高为

2 2

3

．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定和性质，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，训练了利用基本不等式求最值，求棱锥体积最大时的棱锥的高时，运用了等积法，体现了数学转化思想，属于中档题．