Question

已知点B（-1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且满足|

PC

|•|

BC

|=

PB

•

CB

（Ⅰ）求点P的轨迹C对应的方程；
（Ⅱ）已知点A（m，2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD⊥AE，判断：直线DE是否过定点？并证明你的结论．

Answer 1

分析：（I）设P（x，y）代入，|

PC

|•|

BC

|=

PB

•

CB

整理可求
（II）将A（m，2）代入y²=4x可求m=1，从而可得点A的坐标为（1，2），设直线DE的方程为x=my+t代入y²=4x，整理得y²-4my-4t=0，设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）则y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4t，而

AD

•

AE

=(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)=x1x2-(x1+x2)+1+y1•y2-2(y1+y2)+4=0，代入可求

解答：解：（I）设P(x，y)代入|

.

PC

|•|

.

BC

|=

.

PB

•

.

CB

得

(x-1)2+y2

=1+x，化简得y2=4x．（4分）
（II）将A（m，2）代入y²=4x得m=1，
∴点A的坐标为（1，2）．（5分）
设直线DE的方程为x=my+t代入y²=4x，得y²-4my-4t=0，设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）
则y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4t，△=（-4m）²+16t＞0（*）（6分）
∴

AD

•

AE

=(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)=x1x2-(x1+x2)+1+y1•y2-2(y1+y2)+4=

y 2 1

4

•

y 2 2

4

-(

y 2 1

4

+

y 2 2

4

)+y1•y2-2(y1+y2)+5=

(y1•y2)2

16

-

(y1+y2)2-2y1•y2

4

+y1•y2-2(y1+y2)+5=

(-4t)2

16

-

(4m)2-2(-4t)

4

+(-4t)-2(4m)+5=0化简得t2-6t+5=4m2+8m
即t²-6t+9=4m²+8m+4即（t-3）²=4（m+1）²
∴t-3=±2（m+1）
∴t=2m+5或t=-2m+1，代入（*）式检验知只有t=2m+5满足△＞0（7分）
∴直线DE的方程为x=m（y+2）+5
∴直线DE过定点（5，-2）（8分）

点评：本题主要查了平面向量的数量积的基本运算，圆锥曲线的求解，直线与圆锥曲线的位置关系的应用，解题的关键是要具备一定的推理运算能力．