Question

已知点B（-1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且满足|

PC

|•|

BC

|=|

PB

|•|

CB

|．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）直线l过点（-4，4

3

）且与动点P的轨迹交于不同两点M、N，直线OM、ON（O是坐标原点）的倾斜角分别为α、β．求α+β的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设P（x，y），则

PC

=（1-x，-y），

BC

=（2，0），

PB

=（-1-x，-y），

CB

=（-2，0），由|

PC

|•|

BC

|=|

PB

|•|

CB

|，知

(1-x)2+(-y)2

•2=2•(1+x)，从而得到动点P的轨迹方程．
（Ⅱ）由于直线l过点（-4，4

3

），且与抛物线y²=4x交于两个不同点，所以直线l 的斜率一定存在，且不为0．由此能推导出α +β=

π

6

或α+β=

7π

6

．

解答：解：（Ⅰ）设P（x，y），则

PC

=（1-x，-y），

BC

=（2，0），

PB

=（-1-x，-y），

CB

=（-2，0），
∵|

PC

|•|

BC

|=|

PB

|•|

CB

|，
∴

(1-x)2+(-y)2

•2=2•(1+x)，
化简得动点P的轨迹方程是：y²=4x．
（Ⅱ）由于直线l过点（-4，4

3

），且与抛物线y²=4x交于两个不同点，所以直线l 的斜率一定存在，且不为0.设l：y-4

3

=k(x+4)，
由

y-4 3 =k(x+4) y2=4x

，得ky2-4y+(16k+16

3

) =0，
△=16-4k(16k+16

3

) ＞0，
∵0＜α+β＜2π．∴α +β=

π

6

或α+β=

7π

6

．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．