Question

已知函数f（x）=

9x

1+ax2

（a＞0）．
（1）当

1

4

＜a＜4时，求f（x）在[

1

2

，2]上的最大值；
（2）若直线y=-x+2a为曲线y=f（x）的切线，求实数a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数的最值及其几何意义

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）函数f（x）即为

9

ax+ 1 x

，令g（x）=ax+

1

x

，运用导数，判断单调性，求得极小值，也为最小值，即可得到f（x）的最大值；
（2）设出切点为（m，n），求出f（x）的导数，求出切线的斜率，由已知切线的方程可得am²=2或5，再由切点在切线上和曲线上，满足它们的方程，解方程即可得到a的值．

解答： 解：（1）当

1

2

≤x≤2时，
函数f（x）=

9x

1+ax2

（a＞0）=

9

ax+ 1 x

，
令g（x）=ax+

1

x

，g′（x）=a-

1

x2

=

ax2-1

x2

=

( a x+1)( a x-1)

x2

，
当

1

4

＜a＜4时，

1

2

＜

1

a

＜2．
当

1

a

＜x≤2时，g′（x）＞0，g（x）递增；
当

1

2

≤x＜

1

a

时，g′（x）＜0，g（x）递减．
即有x=

1

a

处g（x）取得极小值，也为最小值，且为2

a

．
则有f（x）在[

1

2

，2]上的最大值为

9

2 a

．
（2）函数f（x）=

9x

1+ax2

（a＞0）的导数为f′（x）=

9(1+ax2)-18ax2

(1+ax2)2

=

9-9ax2

(1+ax2)2

，
设切点为（m，n），则切线的斜率为k=

9-9am2

(1+am2)2

，又直线y=-x+2a为曲线y=f（x）的切线，即有k=-1，
∴

9-9am2

(1+am2)2

=1，解得am²=2或5，
又n=-m+2a，n=

9m

1+am2

，
当am²=2，可得n=3m=2a-m，即a=2m，解得a=2；
当am²=5，可得n=

3

2

m=2a-m，即a=

5

8

m，解得a=

5

4

．
故实数a的值为2或

5

4

．

点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率和判断单调性、求极值和最值，主要考查导数的几何意义和函数单调性的运用，设出切点和正确求导是解题的关键．