Question

（本题满分15分）
已知，且（为自然对数的底数）。
（1）求与的关系；
（2）若在其定义域内为增函数，求的取值范围；
（3）证明：
(提示：需要时可利用恒等式：)

Answer 1

解：（1）由题意

（2）由（1）知：（x>0）

令h(x)=x²－2x+.要使g(x)在（0，+∞）为增函数，只需h(x)在（0，+∞）满足：
h(x)≥0恒成立.
即x²－2x+≥0
上恒成立
又
所以
（3）证明：证：lnx－x+1≤0  (x>0)，
设.
当x∈（0，1）时，k′(x)>0，∴k(x)为单调递增函数；
当x∈（1，∞）时，k′(x)<0，∴k(x)为单调递减函数；
∴x=1为k(x)的极大值点，
∴k(x)≤k(1)=0.
即lnx－x+1≤0，∴lnx≤x－1.
②由①知lnx≤x－1,又x>0，

略