Question

已知平面上的动点Q到定点F（0，1）的距离与它到定直线y=3的距离相等．
（1）求动点Q的轨迹C₁的方程；
（2）过点作直线l₁交C₂：x²=4y于A，B两点（在第一象限）．若|BF|=2|AF|，求直线l₁的方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出Q的坐标，根据条件推断出x和y的关系式，化简求得x和y的关系，即曲线的方程．
（2）设出A，B，利用抛物线的定义，表示出|AF|和|BF|，进而利用|BF|=2|AF|，求得y₂和y₁的关系，令直线AB的方程x=t（y-1），与抛物线方程联立消去x，表示出y₁+y₂和y₁y₂，联立求得y₁和y₂，代入方程②求得t，进而求得t．则直线AB的方程可得．

解答： 解：（1）设Q（x，y），
由条件有

x2+(y-1)2

=|y-3|，
化简得曲线C₁的方程为：x²=-4y+8．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+1，
由|BF|=2|AF|，得y₂=2y₁+1①
令直线AB方程为x=t（y-1），代入抛物线方程，可得t²y²-（2t²+4）y+t²=0，
∴y₁+y₂=

2t2+4

t2

②，y₁y₂=1③
由①和③联立解得：y₁=

1

2

，y₂=2
代入②得：t²=8
依题意直线AB的斜率大于0，即t＞0，
∴t=2

2

故直线AB的方程为x-2

2

y+2

2

=0．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了分析推理和基本的运算能力．