Question

已知数列{a_n}满足

n

a1+a2+…+an

=

1

2n+1

．
（1）设S_n是数列{a_n}的前n项和，求a_n与S_n；
（2）若b_n=

16

(an+1)(an+5)

，设函数f（x）=x+

1

2

-

n

i-1

b_i，是否存在最大的实数λ，当x≤λ时，对一切n∈N^*都有f（x）≤0成立？若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由

n

a1+a2+…+an

=

1

2n+1

，得Sn=2n2+n，由此能求出a_n=4n-1．
（2）假设存在最大的实数λ，当x≤λ时，对一切n∈N^*，都有x+

1

2

-

n

i=1

bi≤0成立，从而

n

i=1

bi=

n

n+1

≥

1

2

，由此能推导出λ=0，当x≤λ时，对一切n∈N^*，都有f（x）≤0成立．

解答： 解：（1）由

n

a1+a2+…+an

=

1

2n+1

，得：a₁+a₂+…+a_n=n（2n+1），
即Sn=2n2+n．…（3分）
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n（2n+1）-（n-1）（2n-1）=4n-1，
又n=1时，a₁=S₁=3，
∴a_n=4n-1，（n∈N^*）．…（6分）
（2）假设存在最大的实数λ，当x≤λ时，对一切n∈N^*，
都有f（x）≤0成立，即有x+

1

2

-

n

i=1

bi≤0成立，
∴当x≤λ时，对一切n∈N^*，都有x+

1

2

≤

n

i=1

bi成立，…（8分）
∵b_n=

16

(an+1)(an+5)

=

16

(4n-1+1)(4n-1+5)

=

16

4n(4n+4)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴

n

i=1

bi=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

≥

1

2

，…（10分）
∴当x≤λ时，对一切n∈N^*都有x+

1

2

≤

1

2

成立，解得x≤0，
∴可取λ=0，当x≤λ时，对一切n∈N^*，都有f（x）≤0成立．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，考查是否存在最大的实数λ，当x≤λ时，对一切n∈N^*都有f（x）≤0成立的判断与求法，解题时要注意裂项求和法的合理运用．