Question

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，

3

2

sinC+

1

2

cosC=1．
（1）若△ABC的面积等于

3

，求a，b；
（2）若sinB=2sinA，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）已知等式左边利用两角和与差的正弦函数公式化简，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，由已知三角形ABC的面积，利用面积公式求出ab的值，再利用余弦定理求出a2+b2的值，联立求出a与b的值即可；
（2）利用正弦定理化简已知的等式，再利用余弦定理列出关系式，将各自的值代入得到关于a的方程，求出方程的解得到a的值，进而求出b的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（1）∵

3

2

sinC+

1

2

cosC=sin（C+

π

6

）=1，且C为三角形的内角，
∴C+

π

6

=

π

2

，即C=

π

3

，
∵S_△ABC=

1

2

absinC=

3

，∴ab=4①，
∵c²=a²+b²-2abcosC，即4=a²+b²-8，
∴a²+b²=12②，
联立①②解得：a=

5

+1，b=

5

-1或a=

5

-1，b=

5

+1；
（2）由正弦定理化简sinB=2sinA得：b=2a，
∴c²=a²+b²-2abcosC，即4=a²+4a²-2a²，
解得：a=

2 3

3

，
∴b=2a=

4 3

3

，
则S_△ABC=

1

2

absinC=

2 3

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．