Question

17．若在△ABC内部的点P满足$\frac{{S}_{△PAB}}{PA•AB}$=$\frac{{S}_{△PBC}}{PB•BC}$=$\frac{{S}_{△PAC}}{PA•AC}$，则PA+PB+PC=$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由三角形的面积公式可得∠APB=∠BPC=∠APC=120°，以AC为底边向△ABC外作正三角形ACQ，可得PA+PB+PC=BQ，再由余弦定理得答案．

解答 解：由三角形的面积公式可得${S}_{△PAB}=\frac{1}{2}PA•PB•sin∠APB$，
${S}_{△PBC}=\frac{1}{2}•PB•PC•sin∠BPC$，${S}_{△PAC}=\frac{1}{2}PA•PC•sin∠APC$．
∴sin∠APB=sin∠BPC=sin∠APC．
则∠APB=∠BPC=∠APC=120°，
以AC为底边向△ABC外作正三角形ACQ，
由题意可得∠ABC=90°，AB=1，AC=2，
∴∠BAC=60°，∠BAQ=120°，
故PA+PB+PC=BQ=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}-2×1×2×cos120°}$=$\sqrt{7}$．
故答案为：$\sqrt{7}$．

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式和余弦定理的应用，属中档题．