Question

2．在数列{a_n}及{b_n}中，a_n+1=a_n+b_n+$\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+{{b}_{n}}^{2}}$，b_n+1=a_n+b_n-$\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+{{b}_{n}}^{2}}$，a₁=1，b₁=1．设c_n=$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{{b}_{n}}$，则数列{c_n}的前2017项和为4034．

Answer 1

分析 由已知可得a_n+1+b_n+1=2（a_n+b_n），a₁+b₁=2，a_n+1b_n+1=$（{a}_{n}+{b}_{n}）^{2}-（{{a}_{n}}^{2}+{{b}_{n}}^{2}）=2{a}_{n}{b}_{n}$，即a_nb_n=2^n-1．代入c_n=$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{{b}_{n}}$，求得数列{c_n}为常数数列得答案．

解答 解：∵a_n+1=a_n+b_n+$\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+{{b}_{n}}^{2}}$，b_n+1=a_n+b_n-$\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+{{b}_{n}}^{2}}$，a₁=1，b₁=1．
∴a_n+1+b_n+1=2（a_n+b_n），a₁+b₁=2．
∴a_n+b_n=2ⁿ．
另一方面：a_n+1b_n+1=$（{a}_{n}+{b}_{n}）^{2}-（{{a}_{n}}^{2}+{{b}_{n}}^{2}）=2{a}_{n}{b}_{n}$，
∴a_nb_n=2^n-1．
∴c_n=$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{{a}_{n}{b}_{n}}$=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n-1}}=2$，
则数列{c_n}的前2017项和S₂₀₁₇=2017×2=4034．
故答案为：4034．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．