Question

7．已知函数f（x）=Asin（2x+φ）-$\frac{1}{2}$（A＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x=$\frac{π}{12}$对称，若对于任意的x∈[0，$\frac{π}{2}$]，都有m²-3m≤f（x），则实数m的取值范围为（　　）

• A． [1，$\frac{3}{2}$]
• B． [1，2]
• C． [$\frac{3}{2}$，2]
• D． [$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$]

Answer 1

分析 利用函数y=Asin（ωx+φ）+B的图象和性质，正弦函数的定义域和值域，求得实数m的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=Asin（2x+φ）-$\frac{1}{2}$（A＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的图象在y轴上的截距为1，
∴Asinφ-$\frac{1}{2}$=1，即Asinφ=$\frac{3}{2}$．
∵函数f（x）=Asin（2x+φ）-$\frac{1}{2}$ 的图象关于直线x=$\frac{π}{12}$对称，∴2•$\frac{π}{12}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴A•sin$\frac{π}{3}$=$\frac{3}{2}$，∴A=$\sqrt{3}$，∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$．
对于任意的x∈[0，$\frac{π}{2}$]，都有m²-3m≤f（x），
∵2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$]，f（x）∈[-2，$\sqrt{3}$-1]，
∴m²-3m≤-2，求得1≤m≤2，
故选：B．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）+B的图象和性质，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．