Question

15．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知E，F分别是线段AB₁与CA₁上的动点，异面直线AB₁与CA₁所成角为θ，记线段EF中点M的轨边为L，则|L|等于（　　）

• A． $\frac{1}{2}$|AB₁|
• B． $\sqrt{{\overrightarrow{A{B}_{1}}}^{2}+{\overrightarrow{C{A}_{1}}}^{2}-（\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{C{A}_{1}}）^{2}}$
• C． $\frac{1}{4}$|AB₁|•|CA₁|•sinθ
• D． $\frac{1}{12}$•V${\;}_{{\;}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}}$（V${\;}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$是三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积）

Answer 1

分析 由题意画出图形，取特殊点得到M的轨迹为平行四边形区域，再由三角形面积求解．

解答 解：当E位于B₁，A，而F在A₁C上移动时，M的轨迹为平行于A₁C的两条线段，
当F位于A₁，C，而E在AB₁上移动时，M的轨迹为平行与AB₁的两条线段．
其它情况下，M的轨迹构成图中平行四边形内部区域．

∴|L|=2×$\frac{1}{2}$|$\frac{1}{2}$AB₁|•|$\frac{1}{2}$CA₁|•sinθ=$\frac{1}{4}$|AB₁|•|CA₁|•sinθ．
故选：C．

点评 本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力和思维能力，利用特殊点得到M的轨迹是解答该题的关键，是压轴题．