Question

4．矩形ABCD中，AB=3，AD=2，P矩形内部一点，且AP=1，若$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$，则3x+2y的取值范围是（1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 由已知得|$\overrightarrow{AP}$|²=（x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$）²=9x²+4y²≥（3x+2y）²-$\frac{1}{2}$（3x+2y）²=$\frac{1}{2}$（3x+2y）²，从而得到3x+2y≤$\sqrt{2}$，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，则$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$=（3x，2y），从而3x+2y＞1，由此能求出3x+2y的取值范围．

解答 解：∵矩形ABCD中，AB=3，AD=2，P矩形内部一点，且AP=1，$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$，
∴|$\overrightarrow{AP}$|²=（x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$）²=9x²+4y²
=（3x+2y）²-12xy≥（3x+2y）²-$\frac{1}{2}$（3x+2y）²
=$\frac{1}{2}$（3x+2y）²
∵|$\overrightarrow{AP}$|²=1，∴$\frac{1}{2}$（3x+2y）²≤1，故3x+2y≤$\sqrt{2}$，
如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，
则A（0，0），B（3，0），D（0，2），
∴$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$=x（3，0）+y（0，2）=（3x，2y），
∴由三角形中两边和大于第三边，得：3x+2y＞1，
∴3x+2y的取值范围是（1，$\sqrt{2}$]．
故答案为：$（{1，\sqrt{2}}]$．

点评 本题考查代数和的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量的性质的合理运用．