Question

13．已知F₁，F₂是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF₁|＞|PF₂|，线段PF₁的垂直平分线过F₂，若椭圆的离心率为e₁，双曲线的离心率为e₂，则$\frac{2}{e_1}+\frac{e_2}{2}$的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{6}$
• B． 3
• C． 6
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 通过图象可知F₁F₂=F₂P=2c，利用椭圆、双曲线的定义及离心率公式可得$\frac{2}{e_1}+\frac{e_2}{2}$的表达式，通过基本不等式即得结论．

解答 解：由题意可知：F₁F₂=F₂P=2c，
又∵F₁P+F₂P=2a₁，F₁P-F₂P=2a₂，
∴F₁P+2c=2a₁，F₁P-2c=2a₂，
两式相减，可得：a₁-a₂=2c，
∵$\frac{2}{e_1}+\frac{e_2}{2}$=$\frac{2{a}_{1}}{c}$$+\frac{c}{2{a}_{2}}$=$\frac{4{a}_{1}{a}_{2}+{c}^{2}}{2c{a}_{2}}$，
∴$\frac{2}{e_1}+\frac{e_2}{2}$=$\frac{4（2c+{a}_{2}）{a}_{2}+{c}^{2}}{2c{a}_{2}}$=$\frac{8c{a}_{2}+4{{a}_{2}}^{2}+{c}^{2}}{2c{a}_{2}}$=4+2$\frac{{a}_{2}}{c}$+$\frac{c}{2{a}_{2}}$，
∵2$\frac{{a}_{2}}{c}$+$\frac{c}{2{a}_{2}}$≥2$\sqrt{\frac{2{a}_{2}}{c}•\frac{c}{2{a}_{2}}}$=2，当且仅当$\frac{2{a}_{2}}{c}=\frac{c}{2{a}_{2}}$时等号成立，
∴$\frac{2}{e_1}+\frac{e_2}{2}$的最小值为6，
故选：C．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．