Question

2．如图，四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，AB=PA=$\sqrt{3}$，AD=2，PB=$\sqrt{6}$，E为PB中点，且AE⊥BC．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）若M，N分别为棱PC，PD中点，求四棱锥B-MCDN的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出PA⊥AB，BC⊥PA，由此能证明PA⊥平面ABCD．
（2）四棱锥B-MCDN的体积V_B-MCDN=V_A-MCDN=$\frac{3}{4}{V}_{A-PCD}=\frac{3}{4}{V}_{P-ACD}$，由此能求出结果．

解答 证明：（1）由题意有PA²+AB²=3+3=6=PB²，所以PA⊥AB①，
因为AB=AP，E为PB中点，
所以AE⊥PB，又AE⊥PC，PB∩PC=C，
所以，AE⊥平面PBC，
又BC?平面PBC，所以AE⊥BC，
又AB⊥BC，及AE∩AB=A，
所以BC⊥平面PAB，
又PA?平面PAB，所以BC⊥PA②，
由①②及AB∩BC=B得PA⊥平面ABCD，
故PA⊥平面ABCD．
解：（2）因为BA∥CD，CD?平面PCD，
所以BA∥平面PCD，
所以四棱锥B-MCDN的体积V_B-MCDN=V_A-MCDN，
又M，N分别为棱PC，PD的中点，所以${S_{MCDN}}=\frac{3}{4}{S_{PCD}}$，
所以${V_{B-MCDN}}={V_{A-MCDN}}=\frac{3}{4}{V_{A-PCD}}=\frac{3}{4}{V_{P-ACD}}=\frac{3}{4}×\frac{1}{3}×（{\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}}）×\sqrt{3}=\frac{3}{4}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．