Question

12．已知圆C方程x²+y²-2x-4y+a=0，圆C与直线x+2y-4=0相交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），则实数a的值为（　　）

• A． $-\frac{4}{5}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{8}{5}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 将直线方程代入圆的方程，利用韦达定理，及以AB为直径的圆过原点，可得关于a的方程，即可求解．

解答 解：由直线x+2y-4=0与圆x²+y²-2x-4y+a=0，消去y，得5x²-8x-16+4a=0①
设直线l和圆C的交点为A （x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁、x₂是①的两个根．
∴x₁x₂=$\frac{4a-16}{5}$，x₁+x₂=$\frac{8}{5}$．             ②
由题意有：OA⊥OB，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+$\frac{1}{4}$（4-x₁）（4-x₂）=0，即$\frac{5}{4}$x₁x₂-（x₁+x₂）+4=0③
将②代入③得：a=$\frac{8}{5}$．
故选C．．

点评 本题综合考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于基本知识的考查与应用．