Question

20．已知实数x满足9^x-12•3^x+27≤0，函数$f（x）={log_2}\frac{x}{2}•{log_{\sqrt{2}}}\frac{{\sqrt{x}}}{2}$．
（1）求实数x的取值范围；
（2）求函数f（x）的最大值和最小值，并求出此时x的值．

Answer 1

分析 （1）问题转化为（3^x-3）（3^x-9）≤0，求出x的范围即可；
（2）将f（x）的解析式配方，结合二次函数的性质求出f（x）的最大值和最小值即可．

解答 解：（1）由9^x-12•3^x+27≤0，
得（3^x）²-12•3^x+27≤0，
即（3^x-3）（3^x-9）≤0，
∴3≤3^x≤9，1≤x≤2．
（2）因为$f（x）={log_2}\frac{x}{2}•{log_{\sqrt{2}}}\frac{{\sqrt{x}}}{2}=（{log_2}x-1）（{log_2}x-2）$
=${（{log_2}x）^2}-3{log_2}x+2={（{log_2}x-\frac{3}{2}）^2}-\frac{1}{4}$，
∵1≤x≤2，∴0≤log₂x≤1，
当log₂x=1，即x=2时，f（x）_min=0，
当log₂x=0，即x=1时，f（x）_max=2．

点评 本题考查了对数函数以及二次函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道中档题．