Question

10．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=2，AD=1，$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}$BDcosα+CDsinβ，则四边形ABCD周长的取值范围为（3+$\sqrt{7}$，3+2$\sqrt{7}$）．

Answer 1

分析 由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得$\sqrt{3}$cosβsinα=sinαsinβ，进而可求tan$β=\sqrt{3}$，结合范围β∈（0，π），可求$β=\frac{π}{3}$，根据题意，∠BAD=$\frac{2π}{3}$，由余弦定理，基本不等式可求CB+CD≤2$\sqrt{7}$，利用两边之和大于第三边可求CB+CD＞$\sqrt{7}$，即可得解四边形ABCD的周长的取值范围．

解答 解：∵$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}$BDcosα+CDsinβ，
∴$\sqrt{3}$sin∠BDC=$\sqrt{3}$sinβcosα+sinαsinβ，
∴$\sqrt{3}$sin（α+β）=$\sqrt{3}$sinβcosα+sinαsinβ，
∴$\sqrt{3}$（cosβsinα+cosαsinβ）=$\sqrt{3}$sinβcosα+sinαsinβ，
∴$\sqrt{3}$cosβsinα=sinαsinβ，
∴tan$β=\sqrt{3}$，
又∵β∈（0，π），
∴$β=\frac{π}{3}$，
根据题意，∠BAD=$\frac{2π}{3}$，由余弦定理，BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos∠BAD=4+1-2×2×1×cos$\frac{2π}{3}$=7，
又∵BD²=CB²+CD²-2CB•CDcosβ=（CB+CD）²-3CB•CD≥（CB+CD）²-$\frac{3（CB+CD）^{2}}{4}$=$\frac{（CB+CD）^{2}}{4}$，
∴CB+CD≤2$\sqrt{7}$，
又∵CB+CD＞$\sqrt{7}$，
∴四边形ABCD的周长AB+CB+CD+DA的取值范围为：（3+$\sqrt{7}$，3+2$\sqrt{7}$）．
故答案为：（3+$\sqrt{7}$，3+2$\sqrt{7}$）．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理的应用和解三角形的基本知识以及运算求解能力，属于中档题．