Question

1．若函数$f（x）=|{\frac{e^x}{2}-\frac{a}{e^x}}|（{a∈R}）$在区间[1，2]上单调递增，则实数a的取值范围是[-$\frac{{e}^{2}}{2}$，$\frac{{e}^{2}}{2}$]．

Answer 1

分析 去掉绝对值，根据f′（x）≥0，得到a的范围即可．

解答 解：f（x）=$|\frac{{e}^{2x}-2a}{{2e}^{x}}|$；
∵x∈[1，2]；
∴a≤$\frac{{e}^{2}}{2}$时，f（x）=$\frac{{e}^{2x}-2a}{{2e}^{x}}$，f′（x）=$\frac{{e}^{2x}+2a}{{2e}^{x}}$；
由f′（x）≥0；解得：a≥-$\frac{{e}^{2x}}{2}$≥-$\frac{{e}^{2}}{2}$，
即-$\frac{{e}^{2}}{2}$≤a≤$\frac{{e}^{2}}{2}$时，f′（x）≥0，f（x）在[1，2]上单调递增；
即a的取值范围是：[-$\frac{{e}^{2}}{2}$，$\frac{{e}^{2}}{2}$]．
故答案为：[-$\frac{{e}^{2}}{2}$，$\frac{{e}^{2}}{2}$]．

点评 考查对含绝对值函数的处理方法：去绝对值，根据函数导数符号判断函数单调性的方法，以及指数函数的单调性．