Question

8．如图，过圆O外一点P作圆O的切线PA，切点为A，连接OP与圆O交于点C，过点C作圆O作AP的垂线，垂足为D，若PA=2$\sqrt{5}$，PC：PO=1：3，求CD的长．

Answer 1

分析 连接OA，延长PO与圆相交于点B，由PA与⊙O相切于点A，可得OA⊥AP，又CD⊥AP，则CD∥OA．可得$\frac{CD}{OA}$=$\frac{PC}{PO}$=$\frac{1}{3}$．设PC=x，则OC=2x=OB，由切割线定理可得：PA²=PC•PB，解得x，即可得出．

解答 解：连接OA，延长PO与圆相交于点B，
∵PA与⊙O相切于点A，∴OA⊥AP，
又CD⊥AP，则CD∥OA．
∴$\frac{CD}{OA}$=$\frac{PC}{PO}$=$\frac{1}{3}$．
设PC=x，则OC=2x=OB，
由切割线定理可得：PA²=PC•PB，
∴x•5x=$（2\sqrt{5}）^{2}$，解得x=2．
∴CD=$\frac{1}{3}OA$=$\frac{1}{3}×4$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了切割线定理、圆的切线的性质、平行线的性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．