Question

19．已知椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$e=\frac{1}{2}$，且与y轴的正半轴的交点为$（0，2\sqrt{3}）$，抛物线C₂的顶点在原点且焦点为椭圆C₁的左焦点．
（1）求椭圆C₁与抛物线C₂的标准方程；
（2）过（1，0）的两条相互垂直直线与抛物线C₂有四个交点，求这四个点围成四边形的面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）设半焦距为c（c＞0），利用离心率，短半轴，求出a，b，顶点椭圆C₁的标准方程，设抛物线C₂的标准方程为y²=2px（p＞0），求出p，顶点抛物线C₂的标准方程．
（2）由题意易得两条直线的斜率存在且不为0，设其中一条直线l₁的斜率为k，直线l₁方程为y=k（x-1），则另一条直线l₂的方程为$y=-\frac{1}{k}（x-1）$，联立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\{y^2}=8x\end{array}\right.$得k²x²-（2k²+8）x+k²=0，△=32k²+64＞0，设直线l₁与抛物线C₂的交点为A，B，则$|AB|=\frac{{4\sqrt{{k^2}+1}•\sqrt{2{k^2}+4}}}{k^2}$，同理求出|CD|=4$\sqrt{{k}^{2}+1}•\sqrt{4{k}^{2}+2}$求出
四边形的面积利用基本不等式求解最值．

解答 解：（1）设半焦距为c（c＞0），由题意得$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}，b=2\sqrt{3}$，∴$a=4，b=2\sqrt{3}，c=2$，∴椭圆C₁的标准方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．
设抛物线C₂的标准方程为y²=2px（p＞0），则$\frac{p}{2}=c=2$，∴p=4，∴抛物线C₂的标准方程为y²=8x．
（2）由题意易得两条直线的斜率存在且不为0，设其中一条直线l₁的斜率为k，直线l₁方程为y=k（x-1），则另一条直线l₂的方程为$y=-\frac{1}{k}（x-1）$，联立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\{y^2}=8x\end{array}\right.$得k²x²-（2k²+8）x+k²=0，△=32k²+64＞0，设直线l₁与抛物线C₂的交点为A，B，则$|AB|=\frac{{4\sqrt{{k^2}+1}•\sqrt{2{k^2}+4}}}{k^2}$，同理设直线l₂与抛物线C₂的交点为C，D，则，|CD|=$\frac{4\sqrt{（-\frac{1}{k}）^{2}+1}•\sqrt{2（-\frac{1}{k}）^{2}+4}}{（-\frac{1}{k}）^{2}}$=4$\sqrt{{k}^{2}+1}•\sqrt{4{k}^{2}+2}$
∴四边形的面积$S=\frac{1}{2}|AB|•|CD|=\frac{1}{2}×\frac{{4\sqrt{{k^2}+1}•\sqrt{2{k^2}+4}}}{k^2}×4\sqrt{{k^2}+1}•\sqrt{4{k^2}+2}$=$\frac{{8（{k^2}+1）\sqrt{8{k^4}+20{k^2}+8}}}{k^2}$=$16\sqrt{\frac{{（{k^4}+2{k^2}+1）（2{k^4}+5{k^2}+2）}}{k^4}}=16\sqrt{（{k^2}+2+\frac{1}{k^2}）（2{k^2}+5+\frac{2}{k^2}）}$，令$t={k^2}+2+\frac{1}{k^2}$，则t≥4（当且仅当k=±1时等号成立），$S=16\sqrt{t（2t+1）}≥16\sqrt{4•9}=96$．
∴当两直线的斜率分别为1和-1时，四边形的面积最小，最小值为96．

点评 本题考查题意方程的求法抛物线的求法，直线与题意以及抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．