Question

20．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=$\frac{3}{2}$，且点E到平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为（　　）

• A． $\frac{9}{2}$
• B． 5
• C． 6
• D． $\frac{15}{2}$

Answer 1

分析 法一：取AB中点G，CD中点H，连结GE、GH、EH，该多面体的体积V_ABCDEF=V_BCF-GHE+V_E-AGHD，由此能求出结果．
法二：连接BE、CE，求出四棱锥E-ABCD的体积V_E-ABCD=6，由整个几何体大于四棱锥E-ABCD的体积，能求出结果．

解答 解法一：取AB中点G，CD中点H，连结GE、GH、EH，
∵在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，
EF∥AB，EF=$\frac{3}{2}$，且点E到平面ABCD的距离为2，
∴该多面体的体积：
V_ABCDEF=V_BCF-GHE+V_E-AGHD
=S_△BCF×EF+$\frac{1}{3}{S}_{矩形AGHD}×2$
=$\frac{1}{2}×3×2×\frac{3}{2}$+$\frac{1}{3}×3×\frac{3}{2}×2$=$\frac{15}{2}$．
故选：D．
解法二：如下图所示，连接BE、CE
则四棱锥E-ABCD的体积V_E-ABCD=$\frac{1}{3}$×3×3×2=6，
又∵整个几何体大于四棱锥E-ABCD的体积，
∴所求几何体的体积V_ABCDEF＞V_E-ABCD，
故选：D．

点评 本题考查多面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．