Question

5．已知命题甲：对任意实数x∈R，不等式$\frac{{a{x^2}-ax+3}}{{{x^2}-2x+2}}≥0$恒成立；命题乙：已知x，y∈R^*满足x+y=xy+3=0，且a≤xy恒成立．
（1）分别求出甲、乙为真命题时，实数a的取值范围；
（2）求实数a的取值范围，使命题甲、乙中有且只有一个真命题．

Answer 1

分析 （1）由x²-2x+2=（x-1）²+1＞0恒成立，可得$\frac{{a{x^2}-ax+3}}{{{x^2}-2x+2}}≥0$恒成立?ax²-ax+3≥0恒成立，对a分类可得满足条件的a的范围；由正数x，y，满足x+y≥2$\sqrt{xy}$，xy=x+y+3，利用基本不等式转化为关于$\sqrt{xy}$的不等式求得$\sqrt{xy}$的范围，进一步得到xy的最小值可得满足条件的a的范围；
（2）分别由甲为真命题，乙为假命题及甲为假命题，乙为真命题，结合补集、交集运算求得答案．

解答 解：（1）∵x²-2x+2=（x-1）²+1＞0恒成立，
∴命题甲：对任意实数x∈R，不等式$\frac{{a{x^2}-ax+3}}{{{x^2}-2x+2}}≥0$恒成立?ax²-ax+3≥0恒成立，
当a=0时，3＞0恒成立；
当a≠0时，必有$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-12a≤0}\end{array}\right.$，解得：0＜a≤12，
综上，甲为真命题时，实数a的取值范围为[0，12]；
∵正数x，y，满足x+y≥2$\sqrt{xy}$，xy=x+y+3，
∴xy-2$\sqrt{xy}$-3≥0，
∴$\sqrt{xy}$≥3或$\sqrt{xy}$≤-1（舍去），
∴xy≥9，要使xy≥a恒成立，则a≤9．
∴a的取值范围为（-∞，9]．
（2）若甲为真命题，则乙为假命题，则a∈[0，12]∩（9，+∞）=（9，12]；
若甲为假命题，则乙为真命题，则a∈{a|a＜0或a＞12}∩{a|a≤9}=（-∞，9]．
综上，使命题甲、乙中有且只有一个真命题的a的范围为（-∞，12]．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了恒成立问题的求法，属中档题．