Question

20．已知函数f（x）=ax²+bx和g（x）=lnx．
（Ⅰ） 若a=b=1，求证：f（x）的图象在g（x）图象的上方；
（Ⅱ） 若f（x）和g（x）的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令h（x）=f（x）-g（x）=x²+x-lnx，求出导数和单调区间，可得极小值，且为最小值，判断最小值大于0，即可得证；
（Ⅱ）设P的坐标为（m，n），分别求出f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率，即有2am+b=$\frac{1}{m}$，且n=am²+bm=lnm，消去b，可得a=$\frac{1-lnm}{{m}^{2}}$（m＞0），令u（m）=$\frac{1-lnm}{{m}^{2}}$（m＞0），求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）证明：若a=b=1，即有f（x）=x²+x，
令h（x）=f（x）-g（x）=x²+x-lnx，h′（x）=2x+1-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}+x-1}{x}$
=$\frac{（2x-1）（x+1）}{x}$，x＞0，
当x＞$\frac{1}{2}$时，h′（x）＞0，h（x）递增；当0＜x＜$\frac{1}{2}$时，h′（x）＜0，h（x）递减．
可得h（x）在x=$\frac{1}{2}$处取得极小值，且为最小值，且h（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$-ln$\frac{1}{2}$＞0，
即有h（x）＞0恒成立，则f（x）的图象在g（x）图象的上方；
（Ⅱ）设P的坐标为（m，n），
f（x）=ax²+bx的导数为f′（x）=2ax+b，
g（x）=lnx的导数为g′（x）=$\frac{1}{x}$，
可得2am+b=$\frac{1}{m}$，且n=am²+bm=lnm，
消去b，可得am²+1-2am²=lnm，
可得a=$\frac{1-lnm}{{m}^{2}}$（m＞0），
令u（m）=$\frac{1-lnm}{{m}^{2}}$（m＞0），
则u′（m）=$\frac{-3+2lnm}{{m}^{3}}$，
当m＞e${\;}^{\frac{3}{2}}$时，u′（m）＞0，u（m）递增；当0＜m＜e${\;}^{\frac{3}{2}}$时，u′（m）＜0，u（m）递减．
可得u（m）在m=e${\;}^{\frac{3}{2}}$处取得极小值，且为最小值，且u（e${\;}^{\frac{3}{2}}$）=$\frac{1-\frac{3}{2}}{{e}^{3}}$=-$\frac{1}{2{e}^{3}}$，
则a≥-$\frac{1}{2{e}^{3}}$，
故a的取值范围是[-$\frac{1}{2{e}^{3}}$，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查转化思想和构造函数法，分离参数法，考查运算能力，属于中档题．