Question

5．在无穷数列{a_n}中，a₁=p是正整数，且满足${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}\frac{a_n}{2}，当{a_n}为偶数\\{a_n}+5，当{a_n}为奇数.\end{array}\right.$
（Ⅰ）当a₃=9时，给出p的值；（结论不要求证明）
（Ⅱ）设p=7，数列{a_n}的前n项和为S_n，求S₁₅₀；
（Ⅲ）如果存在m∈N^*，使得a_m=1，求出符合条件的p的所有值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由分段数列，推断计算即可得到所求p的值；
（Ⅱ）由题意可得数列{a_n}中的项，从第三项起每隔6项重复一次，即可得到所求和；
（Ⅲ）由数列{a_n}的定义，知${a_n}∈{N^*}$．设t为数列{a_n}中最小的数，即$t=min\{{a_i}\left|{i∈{{N}^*}}\right.\}$，推得t∈{1，3，5}．分别讨论t=3，5，1，推理，即可得到符合条件的p值的集合．

解答 解：（Ⅰ）p=36，或13．
（Ⅱ）由题意，a₁=7，
代入，得a₂=12，a₃=6，a₄=3，a₅=8，a₆=4，a₇=2，a₈=1，a₉=6，…
所以数列{a_n}中的项，从第三项起每隔6项重复一次（注：a₃=a₉），
故S₁₅₀=a₁+a₂+24（a₃+a₄+…+a₈）+a₃+a₄+a₅+a₆
=7+12+24（6+3+8+4+2+1）+6+3+8+4=616．
（Ⅲ）由数列{a_n}的定义，知${a_n}∈{N^*}$．
设t为数列{a_n}中最小的数，即$t=min\{{a_i}\left|{i∈{{N}^*}}\right.\}$，
又因为当a_n为偶数时，${a_{n+1}}=\frac{a_n}{2}$，
所以t必为奇数．
设a_k=t，则a_k+1=t+5，${a_{k+2}}=\frac{t+5}{2}$，
所以$t≤\frac{t+5}{2}$，解得t≤5．
所以t∈{1，3，5}．
如果a_k=t=3，
那么由数列{a_n}的定义，得a_k+1=8，a_k+2=4，a_k+3=2，a_k+4=1，
这显然与t=3为{a_n}中最小的数矛盾，
所以t≠3．
如果a_k=t=5，
当k=1时，p=5；
当k≥2时，由数列{a_n}的定义，得a_k-1能被5整除，…，得a₁=p被5整除；
所以当且仅当${a_1}=p=5r（r∈{N^*}）$时，t=5．
这与题意不符．
所以当${a_1}≠5r（r∈{N^*}）$时，数列{a_n}中最小的数t=1，
即符合条件的p值的集合是{r|r∈N^*，且r不能被5整除}．

点评 本题考查分段数列的应用：求值及求和，注意运用数列的周期性，考查分类讨论的思想方法，以及分析问题和解决问题的能力，属于难题．