Question

已知函数f(x)=

x

lnx

，g（x）=x-mlnx．
（I）求函数f（x）的定义域和极值；
（II）求实数m的取值范围，使得函数g（x）在（2，3）上恰好有两个不同零点．

Answer 1

分析：（I）利用函数的性质，使f(x)=

x

lnx

的分母不为0，对数有意义，利用导数求其极值．
（II）函数的零点就是方程的根，转化为f（x）的范围，确定f（2）、f（3）的大小，确定m的范围．
也可以在（2，3）内g（x）的极小值小于0，2和3的函数值大于0，求解即可．

解答：解：（I）f（x）的定义域是（0，1）∪（1，+∞），（2分）f′(x)=

lnx-1

ln2x

，f'（x）=0，得x=e，（4分）
列表

当x=e时，函数f（x）取极小值f（e）=e，没有极大值；（6分）
（II）方法1：g（x）=0，即m=

x

lnx

=f(x)，
由于（I）知x∈[2，3]时，f（x）的最小值是e，（8分）
f(2)=

2

ln2

，f(3)=

3

ln3

，
∵

2

ln2

=

1

ln 6 8

＞

1

ln 6 9

=

3

ln3

，
∴f（2）＞f（3），（10分）
∴函数g（x）在（2，3）上恰好有两个不同零点时，实数m的取值范围是(e，

3

ln3

)．（12分）
方法2：当m≤0时，g（x）=x-mlnx在（2，3）上是单调递增函数，函数g（x）在（2，3）上不可能有两个不同零点（8分）
当m＞0时，g′(x)=

x-m

x

，g（x）在（0，m）上单调递减，在（m，+∞）上单调递增，
∴函数g（x）在（2，3）上不可能有两个不同零点，∴m∈（2，3）（10分）
由

g(m)=m-mlnm＜0 g(2)=2-mln2＞0 g(3)=3-mln3＞0

，
以及

2

ln2

=

1

ln 6 8

＞

1

ln 6 9

=

3

ln3

，
得实数m的取值范围是(e，

3

ln3

)．（12分）

点评：本题考查函数的定义域，零点定理的判定，导数求极值的方法，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题．