Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=AA₁，∠BAA₁=60°．
（Ⅰ）若点M、N分别是边A₁B₁、BC的中点，求证：MN∥平面ACC₁A₁
（Ⅱ）证明：AB⊥A₁C；
（Ⅲ）若AB=CB=2，A₁C=

6

，求二面角B-AC-A₁的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）取AC中点D，连结DA₁，DN，由已知条件推导出四边形A₁MND为平行四边形，由此能证明MN∥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）取AB中点E，连结EC，EA，由已知条件推导出EC⊥AB，A₁E⊥AB，由此能证明AB⊥平面A₁EC，从而得到AB⊥A₁C．
（Ⅲ）以E为原点，EA为x轴，以EA₁为y轴，以EC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-AC-A₁的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：如图，取AC中点D，连结DA₁，DN，
∵N为BC有中点，∴在△ABC中，ND

∥

.

1

2

AB，
又∵M为A₁B₁中点，A₁B₁∥AB，
∴A₁M

∥

.

1

2

AB，∴ND

∥

.

A₁M，
∴四边形A₁MND为平行四边形，∴MN∥A₁D，
又∵MN不包含于平面ACC₁A₁，AD₁?平面ACC₁A₁，
∴MN∥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）证明：取AB中点E，连结EC，EA，
在△ABC中，CA=CB，∴EC⊥AB，
又在△AA₁B中，AB=AA₁，∠BAA₁=60°，
∴△AA₁B为正三角形，∴A₁E⊥AB，
又A₁E∩EC=E，
∴AB⊥平面A₁EC，
∵A₁C?平面A₁EC，∴AB⊥A₁C．
（Ⅲ）解：∵CA=CB，AB=CB=2，
∴△ABC为边长为2的正三角形，且CE=

3

，∴A1E=

3

，
又A1C=

6

，∴A1E2+CE2=6=A1C2，
∴EC⊥EA₁，又EC⊥AB，EA₁∩AB=E，
∴以E为原点，EA为x轴，以EA₁为y轴，以EC为z轴，建立空间直角坐标系，
∴A（1，0，0），A₁（0，

3

，0），C（0，0，

3

），
∴

AC

=（-1，0，

3

），

AA1

=（-1，

3

，0），

EA1

=（0，

3

，0），
∵EA₁⊥平面ABC，∴

EA1

=（0，

3

，0）是平面ABC的法向量，
设平面AA₁C的法向量为

n

=（x，y，z），
则有

n • AC =-x+ 3 z=0 n • AA1 =-x+ 3 y=0

，
取x=

3

，得

n

=(

3

，1，1)，
∴cos＜

n

，

EA1

＞=

3

5 • 3

=

5

5

，
∴二面角B-AC-A₁的余弦值为

5

5

．

点评：本题考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．