Question

在三棱锥PABC中，PA、PB、PC两两成角，PA＝a，PB＝b，PC＝c，求三棱锥P－ABC的体积．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　本题实际是平行六面体内的一角，关键是求高． 　　解答　　如图，设顶点A在平面PBC的射影为H，连结PH．由已知，PA、PB、PC两两成角， 　　∴PH是∠BPC的平分线，在平面PBC上，过H作HE⊥PB， 　　连结AE，∴AE⊥PE．在Rt△PAH中，PH＝PA·cos∠APH， 　　在Rt△PHE中，PE＝PHcos∠HPE，∠PA·cos∠HPE， 　　∴cos∠APE＝cos∠APH·cos∠HPE． 　　∵∠APE＝，∠HPE＝，∴cos∠APH＝， 　　sin∠APH＝． 　　∵PA＝a，∴AH＝a，S△PBC＝bcsin＝bc． 　　∴VP－ABC＝S△PBC·AH＝×bc×a＝abc． 　　评析　　(1)把A、B、C中的任一个点作为顶点(其余三点构成的三角形作为底面)是解题的关键，这说明改变几何体的放置方式或改变对几何体的观察角度在解题中是十分重要的．(2)当a＝b＝c时，得到正四面体的体积是a3．(3)若在PA、PB、PC上各任取一点M、N、R，设PM＝m，PN＝n，PR＝r，则容易证明＝，这一结论与PA、PB、PC成多大的角无关．