Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E是AC中点．
（Ⅰ）求证：AB₁∥平面BEC₁；
（Ⅱ）若，AB=2，AA₁=，求点A到平面BEC₁的距离；
（Ⅲ）当为何值时，二面角E-BC₁-C的正弦值为？

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接B₁C交BC₁于点F，连接EF，则F为B₁C的中点

∵E是AC中点，∴EF∥AB₁，
∵AB₁?平面BEC₁，EF?平面BEC₁，
∴AB₁∥平面BEC₁；
（Ⅱ）解：由题意知，点A到平面BEC₁的距离即点C到平面BEC₁的距离
∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱
∴BE⊥平面ACC₁A₁，
∵BE?平面BEC₁，
∴平面BEC₁⊥平面ACC₁A₁，
过点C作CH⊥C₁E于点H，则CH⊥平面BEC₁，∴CH为点C到平面BEC₁的距离
在直角△CEC₁中，CE=1，CC₁=，C₁E=，∴由等面积可得CH=
∴点A到平面BEC₁的距离为；
（Ⅲ）解：过H作HG⊥BC₁于G，连接CG，由三垂线定理得CG⊥BC₁，故∠CGH为二面角E-BC₁-C的平面角
当AA₁=2a，AB=b时，
∵
∴在直角△CGH中，sin∠CGH===
∴b=2a
∴==1
∴=1时，二面角E-BC₁-C的正弦值为．
分析：（Ⅰ）连接B₁C交BC₁于点F，连接EF，则F为B₁C的中点，根据E是AC中点，可得EF∥AB₁，从而可证AB₁∥平面BEC₁；
（Ⅱ）由题意知，点A到平面BEC₁的距离即点C到平面BEC₁的距离，过点C作CH⊥C₁E于点H，则可证CH⊥平面BEC₁，故CH为点C到平面BEC₁的距离，由等面积可得结论；
（Ⅲ）过H作HG⊥BC₁于G，连接CG，由三垂线定理得CG⊥BC₁，故∠CGH为二面角E-BC₁-C的平面角，求出CH、CG，利用二面角E-BC₁-C的正弦值为，即可求得结论．
点评：本题考查线面平行，考查点到面的距离，考查面面角，解题的关键是掌握线面平行的判定，正确作出表示点面距离的线段，正确作出面面角，属于中档题．