Question

已知x∈[-1，1]，关于x的不等式tan²x-4atanx+2+2a≤0有有限个解，则a的取值是（　　）

A．- tan21+2 2(2tan1+1) 或- 1 2

B． tan21+2 2(2tan1-1) 或- tan21+2 2(2tan1+1)

C． tan21+2 2(2tan1-1) 或- tan21+2 2(2tan1+1) 或- 1 2

D．- 1 2 或  tan21+2 2(2tan1-1)

Answer 1

已知x∈[-1，1]，关于x的不等式tan²x-4atanx+2+2a≤0有有限个解，tanx∈[-tan1，tan1]，
∴令t=tanx∈[-tan1，tan1]，可得f（t）=t²-4at+2+2a，对称轴为t=2a，
若△=0，可得△=16a²-8a-8=0解得a=1或-

1

2

，
当a=1时，f（t）=（t-2）²≤0可得t=2∉[-tan1，tan1]，故a=1舍去；
当a=-

1

2

时，f（t）=（t-1）²≤0可得t=1∈[-tan1，tan1]，a=-

1

2

满足题意；
若△＞0，可得a＞1或a＜-

1

2

，
对称轴t=2a，
当a＞1时，2a＞2，f（t）开口向上，要求f（t）=t²-4at+2+2a，有有限个解
∴f（tan1）=0，只有一个解x=tan1，（tan1）²-4atan1+2+2a=0，解得a=

tan21+2

2(2tan1-1)

＞1满足题意，
当-tan1＜2a＜1时，f（t）＜0有无数个解，不满足题意；
当2a≤-tan1时，有f（-tan1）=0，可得，（-tan1）²+4atan1+2+2a=0，解得a=-

tan21+2

2(2tan1+1)

，因为tan1=1.557，
∴-2×

tan21+2

2(2tan1+1)

＞-tan1，不满足题意；
综上：a=-

1

2

或a=

tan21+2

2(2tan1-1)

，
故选D；