Question

已知函数f（x）=e^xlnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设x＞0，求证：f（x+1）＞e ^2x﹣1；
（3）设n∈N*，求证：ln（1×2+1）+ln（2×3+1）+…+ln[n（n+1）+1]＞2n﹣3．

Answer 1

解：（1）定义域为（0，+∞），
由f ′（x）=e^xlnx（lnx+1），
令f ′（x）>0，解得x>；令f '（x）<0，解得0<x<．
故f（x）的增区间：（，+∞），减区间：（0，），
（2）即证：（x+1）ln（x+1）>2x-1  ln（x+1）> ln（x+1）->0
令g（x）=ln（x+1）-，由g'（x）=，
令g′（x）=0，得x=2，且g（x）在（0，2）↓，在（2，+∞）↑，所以g（x）_min=g（2）=ln3﹣1，
故当x＞0时，有g（x）≥g（2）=ln3﹣1＞0得证。
（3）由（2）得ln（x+1）>，即ln（x+1）>2-，
所以ln[k（k+1）+1]>2->2-，
则：ln（1×2+1）+ln（2×3+1）+…+ln[（n（n+1）]+1>（2-）+（2-）+...+[2-]=2n-3+>2n-3。．