Question

11．已知命题p：“$\frac{x^2}{2m-1}+\frac{y^2}{2-m}=1$是椭圆的标准方程”，命题q：“$\frac{x^2}{m-1}+\frac{y^2}{m-3}=1$是双曲线的标准方程”．且p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 可以看出命题p为真命题时，m满足$\left\{\begin{array}{l}{2m-1＞0}\\{2-m＞0}\\{2m-1≠2-m}\end{array}\right.$，从而可以得到命题p：$\frac{1}{2}＜m＜2，且m≠1$，同样可以得到命题q：1＜m＜3，而根据p∨q为真，p∧q为假便知p，q一真一假，从而分别求出p真q假，和p假q真时m的范围再求并集便可得出实数m的取值范围．

解答 解：命题p为真命题时，则：$\left\{\begin{array}{l}{2m-1＞0}\\{2-m＞0}\\{2m-1≠2-m}\end{array}\right.$；
解得$\frac{1}{2}＜m＜2$，且m≠1；
即p：$\frac{1}{2}＜m＜2$，且m≠1；
命题q为真命题时，则：（m-1）（m-3）＜0；
∴1＜m＜3；
即q：1＜m＜3
∵p∨q为真，p∧q为假；
∴p，q一真一假；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}＜m＜2，且m≠1}\\{m≤1，或m≥3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{m≤\frac{1}{2}，或m≥2，或m=1}\\{1＜m＜3}\end{array}\right.$；
∴$\frac{1}{2}＜m＜1$，或2≤m＜3；
∴实数m的取值范围为$（\frac{1}{2}，1）∪[2，3）$．

点评 考查椭圆和双曲线的标准方程，真命题、假命题的概念，以及p∨q，p∧q的真假和p，q真假的关系．