Question

8．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N^*，S_n=（-1）ⁿa_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$+2n-6且（a_n+1-p）（a_n-p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是$（{-\frac{7}{4}，\frac{23}{4}}）$．

Answer 1

分析 由S_n=（-1）ⁿa_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$+2n-6，可得a₁=-a₁+$\frac{1}{2}$-4，解得a₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为：[1+（-1）ⁿ⁺¹]a_n=（-1）ⁿa_n-1-$\frac{1}{{2}^{n}}$+2．对n分类讨论，利用数列的单调性、不等式的性质即可得出．

解答 解：∵S_n=（-1）ⁿa_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$+2n-6，
∴a₁=-a₁+$\frac{1}{2}$-4，解得a₁=-$\frac{7}{4}$．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（-1）ⁿa_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$+2n-6-$[（-1）^{n-1}{a}_{n-1}+\frac{1}{{2}^{n-1}}+2（n-1）-6]$，
化为：[1+（-1）ⁿ⁺¹]a_n=（-1）ⁿa_n-1-$\frac{1}{{2}^{n}}$+2．
当n=2k（k∈N^*）时，a_n-1=-2+$\frac{1}{{2}^{n}}$，即a_2k-1=-2+$\frac{1}{{2}^{2k}}$，a_2k+1=-2+$\frac{1}{{2}^{2k+2}}$．
当n=2k-1时，化为2a_n=-a_n-1-$\frac{1}{{2}^{n}}$+2，∴a_2k-2=-2a_2k-1+2-$\frac{1}{{2}^{2k-1}}$，
a_2k=-2a_2k+1+2-$\frac{1}{{2}^{2k+1}}$=6-$\frac{1}{{2}^{2k}}$．
∵（a_n+1-p）（a_n-p）＜0恒成立，
∴当n=2k（k∈N^*）时，（p-a_2k+1）（p-a_2k）＜0，
∴-2+$\frac{1}{{2}^{2k+2}}$＜p＜6-$\frac{1}{{2}^{2k}}$．
∴-2+$\frac{1}{16}$＜p＜6-$\frac{1}{16}$；
当n=2k-1（k∈N^*）时，（p-a_2k）（p-a_2k-1）＜0，
∴-2+$\frac{1}{{2}^{2k}}$＜p＜6-$\frac{1}{{2}^{2k}}$．
∴-$\frac{7}{4}$＜p＜$\frac{23}{4}$，
则实数p的取值范围是：$（{-\frac{7}{4}，\frac{23}{4}}）$．
故答案为：$（{-\frac{7}{4}，\frac{23}{4}}）$．

点评 本题考查了递推关系、分类讨论方法、数列的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．