Question

20．设定义域为R的函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-|x-2|}+1（x≠2）}\\{a（x=2）}\end{array}\right.$，若关于x的方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有五个不同的实数解，则a的取值范围是（1，$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}$，2）．

Answer 1

分析 作出函数f（x）的图象，利用换元法转化为一元二次方程根的分布情况，利用数形结合是解决本题的关键．

解答 解：作出函数f（x）的图象如图：

设t=f（x），则方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0等价为2t²-（2a+3）t+3a=0，即（t-a）（2t-3）=0，
得t=$\frac{3}{2}$或t=a，
当t=$\frac{3}{2}$时，f（x）=t=$\frac{3}{2}$此时有两个根，
要使方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有五个不同的实数解，
则等价为f（x）=a，有三个不同的根，
即1＜a＜2，且a≠$\frac{3}{2}$，
即a的取值范围是（1，$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}$，2），
故答案为：（1，$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}$，2）．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为一元二次方程根的情况，利用数形结合以及分类讨论是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．