Question

10．已知函数f（x）=[2sin（x+$\frac{2π}{3}$）+sinx]cosx-$\sqrt{3}$sin²x．
（1）求f（x）图象的对称轴方程；
（2）若存在实数t∈[0，$\frac{5π}{12}$]，使得sf（t）-2=0成立，求实数s的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先利用降幂公式进行化简，然后利用辅助角公式将f（x）化成$\sqrt{3}$cos2x，最后根据余弦函数的对称性求出对称轴方程即可；
（2）根据t的范围，求出2t的范围，再结合余弦函数单调性求出函数的值域，从而可求出t的范围．

解答 解：（1）∵f（x）=[2sin（x+$\frac{2π}{3}$）+sinx]cosx-$\sqrt{3}$sin²x
=[2（sinxcos$\frac{2π}{3}$+cosxsin$\frac{2π}{3}$）+sinx]cosx-$\sqrt{3}$sin²x
=[-sinx+$\sqrt{3}$cosx+sinx]cosx-$\sqrt{3}$sin²x
=$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$sin²x
=$\sqrt{3}$cos2x，
由2x=kπ，得：x=$\frac{kπ}{2}$，（k∈z），
∴f（x）图象的对称轴方程是：x=$\frac{kπ}{2}$，（k∈z），
（2）当t∈[0，$\frac{5}{12}$π]时，2t∈[0，$\frac{5}{6}$π]，
cos（2t）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
从而f（t）∈[-$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$]，
由sf（t）-2=0可知：s≥$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或s≤-$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查了余弦函数的对称性，以及余弦函数的值域，属于中档题．