Question

9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若$bcosC+\frac{csinB}{{\sqrt{3}}}=a$．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面积为$\sqrt{3}$，A＞C，且其外接圆的面积为4π．试求边a与边c的值．

Answer 1

分析 （1）由已知，利用正弦定理可得sinA=sinBcosC+$\frac{sinCsinB}{\sqrt{3}}$，化简整理即可得出；
（2）由已知及三角形面积公式可解得ac=4①，设外接圆半径为R，由圆的面积公式可求R=2，利用正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{c}{sinC}=2R=4$，解得b，由余弦定理可得：a²+c²=16，②，由①②联立，结合大边对大角的知识即可得解a，c的值．

解答 解：（1）∵$bcosC+\frac{csinB}{{\sqrt{3}}}=a$，
∴sinA=sinBcosC+$\frac{sinCsinB}{\sqrt{3}}$，
∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinB，sinC≠0，
化为cosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinB，
化为tanB=$\sqrt{3}$，B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵B=$\frac{π}{3}$，△ABC的面积为$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac，可得：ac=4，①
∵其外接圆的面积为4π．设外接圆半径为R，则可得：4π=πR²，解得：R=2，
∴由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{c}{sinC}=2R=4$，解得：b=2$\sqrt{3}$，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB可得：12=a²+c²-ac=a²+c²-4，可得：a²+c²=16，②
∴由①②联立解得：$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{6}+\sqrt{2}}\\{a=\sqrt{6}-\sqrt{2}}\end{array}\right.$（A＞C，故舍去），或$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{6}-\sqrt{2}}\\{a=\sqrt{6}+\sqrt{2}}\end{array}\right.$．
∴可得：$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{6}-\sqrt{2}}\\{a=\sqrt{6}+\sqrt{2}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，大边对大角，三角函数的单调性在解三角形中的应用，考查了推理能力与计算能力，考查了转化思想的应用，属于中档题．