Question

15．已知f（x）=x²-3a²，g（x）=（2a+1）x．
（1）若不等式f（x）＜g（x）的解集中有且仅有一个整数，求a的取值范围．
（2）若|f（x）-g（x）|≤4a在x∈[1，4a]恒成立，试确定a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令h（x）=x²-（2a+1）x-3a²，通过讨论a=0，a≠0两种情况，结合二次函数的性质，得到不等式组，从而求出a的范围；
（2）通过讨论a的范围，若$\frac{1}{4}$＜a≤1，则$\left\{\begin{array}{l}{|h（1）|≤4a}\\{|h（4a）|≤4a}\end{array}\right.$；若a＞1，|h（4a）|=|5a²|≤4a，解不等式组，判断即可得到所求范围．

解答 解：（1）令h（x）=x²-（2a+1）x-3a²，
若a=0，则h（x）=x²-x，令h（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）＜g（x）的解集为（0，1），不满足条件；
若a≠0，则h（0）＜0，
由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{h（1）≥0}\\{h（-1）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2a-3{a}^{2}≥0}\\{2+2a-3{a}^{2}≥0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{3}≤a≤0}\\{\frac{1-\sqrt{7}}{3}≤a≤\frac{1+\sqrt{7}}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1-\sqrt{7}}{3}$≤a＜0；
（3）令h（x）=f（x）-g（x）=x²-（2a+1）x-3a²，
若$\frac{1}{4}$＜a≤1，h（x）在[1，4a]递增，则$\left\{\begin{array}{l}{|h（1）|≤4a}\\{|h（4a）|≤4a}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{|1-2a-3{a}^{2}|≤4a}\\{|5{a}^{2}|≤4a}\end{array}\right.$，得$\frac{1}{4}$＜a≤$\frac{4}{5}$，
若a＞1，|h（4a）|=|5a²|≤4a不成立．
所以a的取值范围是（$\frac{1}{4}$，$\frac{4}{5}$]．

点评 本题考查二次不等式的解法，考查绝对值不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．