Question

5．数列{a_n}满足a₁=1，3a_n+1+a_n-8=0，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 把已知数列递推式变形，可得$\frac{{a}_{n+1}-2}{{a}_{n}-2}=-\frac{1}{3}$，即数列{a_n-2}构成以-1为首项，以$-\frac{1}{3}$为公比的等比数列，由此求出等比数列的通项公式后得答案．

解答 解：由3a_n+1+a_n-8=0，得${a}_{n+1}=-\frac{1}{3}{a}_{n}+\frac{8}{3}$，
即${a}_{n+1}-2=-\frac{1}{3}（{a}_{n}-2）$，
∵a₁-2=-1≠0，
∴$\frac{{a}_{n+1}-2}{{a}_{n}-2}=-\frac{1}{3}$，
则数列{a_n-2}构成以-1为首项，以$-\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
∴${a}_{n}-2=-1×（-\frac{1}{3}）^{n-1}$，
则${a}_{n}=2-（-\frac{1}{3}）^{n-1}$．

点评 本题考查数列递推式，训练了利用构造等比数列方法求数列的通项公式，是中档题．