Question

【题目】长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=1，若二面角A1﹣BD﹣A的大小为 ，则BD1与面A1BD所成角的正弦值为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设AD=t，则D（0，0，0），A1（t，0，1），B（t，2，0），D1（0，0，1），
=（t，0，1）， =（t，2，0），
设平面DA1B的法向量 =（x，y，z），
则 ，取x=2，得 =（2，﹣t，﹣2t），
又平面ABD的法向量 =（0，0，1），二面角A1﹣BD﹣A的大小为 ，
∴|cos＜ ＞|= = =cos ，解得t=2 ，或t=﹣2 （舍），
∴B（2 ，2，0）， =（﹣2 ，﹣2，1）， =（2，﹣2 ，﹣4 ），
设BD1与面A1BD所成角为θ，
sinθ= = = ．
∴BD1与面A1BD所成角的正弦值为 ．
所以答案是： ．

【考点精析】利用异面直线及其所成的角对题目进行判断即可得到答案，需要熟知异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系．