Question

【题目】已知函数为奇函数．

（1）求a的值，并证明是R上的增函数；

（2）若关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0的解集非空，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），证明见解析（2）

【解析】

(1)由奇函数在0处有定义时计算可得.证明在上为增函数时,设,再计算,化简证明即可.
(2)先根据奇偶性化简为,因为函数单调递增,所以若解集非空,则有解.再根据二次不等式恒成立的问题求解即可.

（1）因为定义在R上的奇函数,所以,得.

此时,,

,所以是奇函数,

所以．

任取R,且,则,因为

所以,

所以是R上的增函数.

（2）因为为奇函数,f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0的解集非空,

所以的解集非空,

又在R上单调递增,

所以的解集非空,

即在R上有解,所以得.